a, Xét tam giác ABE và tam giác HBE có

                AB=HB(gt)

               \(\widehat{ABE}\)=\(\widehat{HBE}\)(gt)

                BE chung

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)ABE=\(\Delta\)HBE(c.g.c)\(\Rightarrow\)\(\widehat{EAB}\)=\(\widehat{EHB}\)mà \(\widehat{EAB}\)=90 độ\(\Rightarrow\)\(\widehat{EHB}\)=90 độ

\(\Rightarrow\)EH vuông góc vs BC

a) Vì BE là tia phân giác của tam giác ABC

=> \(\widehat{ABE}=\widehat{EBC}\)hay \(\widehat{ABE}=\widehat{EBH}\)

* Xét tam giác ABE và tam giác HBE có :

 + )BA = BH ( gt)

+) \(\widehat{ABE}=\widehat{EBH}\)  (cmt)

+)BE chung

=> tam giác ABE = tam giác HBE ( c-g-c)

-> \(\widehat{BAE}=\widehat{BHE}\)( hai cạnh tương ứng )

Mà \(\widehat{BAE}=90^0\)( \(\widehat{BAC}=90^0\))

-> \(\widehat{BHE}=90^0\)

=> BH vuông góc EH hay BC vuông góc EH ( đpcm)

b) Vì tam giác ABE = tam giác HBE (cmt)

=> AE = EH ( 2 cạnh tương ứng )

* Có : AE = EH ( cmt)

=> Khoảng cách từ điểm E đến H bằng khoảng cách từ điểm E đến A ( 1)

BA = BH ( gt )

=. Khoản cách từ điểm B đến điềm H bằng khoảng cách từ điểm B đến điểm A ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => BE là đường trung trực của AH ( đpcm )

c) Vì tam giác ABC có \(\widehat{A}\)= \(90^0\) ( gt)

=> AB vuông góc AC hay AE vuông góc AK ( E e AC ; K e AB )

=>\(\widehat{EAK}=90^0\)

Vì EH vuông góc AC ( cmt)

=> \(\widehat{EHC}=90^0\)

Xét tam giác AEK và tam giác HEC có 

AE = EH (cmt)

\(\widehat{EAK}=\widehat{EHC}=90^0\)

\(\widehat{AEK}=\widehat{HEC}\)(đối đỉnh)

=> tam giác AEK = tam giác HEC ( g-c-g)

=> EK = EC ( 2 cạnh tương ứng)

d) Có : BA = BH ( gt 0

=> tam giác BAH cân tại B

=. \(\widehat{BAH}=\frac{180^0-\widehat{ABH}}{2}\)( 3)

Vì tam giác AEK = tam giác HEC ( cmt )

=> AK = HC ( 2 cạnh tương ứng)

Có: AK = BA + AK

      BC = BH + HC

Mà BA = BH ( gt )

AK = HC ( cmt)

=> BK = BC

=> Tam giác BKC cân tại B

=>\(\widehat{BKC}=\frac{180^0-\widehat{KBC}}{2}\)hay \(\widehat{BKC}=\frac{180^0-\widehat{ABH}}{^{ }2}\)( 4 )

Từ ( 3 ) và ( 4 ) => \(\widehat{BAH}=\widehat{BKC}\)

Mà 2 góc ở vị trí đồng vị

=> AH // BC ( đpcm)

e) Có :  Tam giác BKC cân tại B

M là trung điểm BC 

=> BM là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của tam giác BKC

Có BK là đường phân giác của tam giác BKC (cmt)

=> BK là đường phân giác của\(\widehat{KBC}\)hay \(\widehat{BAH}\)

Mà BE cũng là đường phân giác của \(\widehat{BAH}\)

=> BE trùng BK hay ba điểm B ; E ; K thẳng hàng ( đpcm)

HÌnh bạn tự vẽ nha

\(\text{a)Vì }BE\text{ là phân giác của }\Delta ABC:\)

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{EBH}\)

\(\text{Xét }\Delta ABE\text{ và }\Delta HBE\text{ có:}\)

\(BH=HA\left(gt\right)\)

\(BE\text{ chung}\)

\(\widehat{ABE}=\widehat{EBH}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta HBE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{BHE}\text{(hai cạnh tương ứng)}\)

\(\text{Mà }\widehat{A}=90^0\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{H}=90^0\)

\(\Rightarrow EH\perp BC\)

\(\text{b)Vì }\Delta ABE=\Delta HBE\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow AE=EH\)

\(\Rightarrow\text{Khoảng cách từ điểm E đến H bằng khoảng cách từ điểm E đến A (1)}\)

\(\text{Ta có:}BA=BH\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\text{Khoảng cách từ điểm B đến H bằng khoảng cách từ điểm B đến A (2)}\)

\(\text{Từ (1) và (2)}\)

\(\Rightarrow\text{BE là đường trung trực của AH}\)

\(\text{c)Vì }\widehat{A}=90^0\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AB\perp AC\)

\(\Rightarrow\widehat{EAK}=90^0\)

\(\text{Vì }EH\perp BC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{EHC}=90^0\)

\(\text{Xét }\Delta AEK\text{ và }\Delta HEC\text{ có:}\)

\(\text{AE = EH (cmt)}\)

\(\widehat{EAK}=\widehat{EHC}=90^0\)

\(\widehat{AEK}=\widehat{HEC}\text{(đối đỉnh)}\)

\(\Rightarrow\Delta AEK=\Delta HEC\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow EK=EC\text{(2 cạnh tương ứng)}\)

\(\text{d)Ta có:}BA=BH\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta\text{BAH cân tại B}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\dfrac{180^0-\widehat{ABH}}{2}\left(3\right)\)

\(\text{Vì }\Delta AEK=\Delta HEC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\text{AK = HC ( 2 cạnh tương ứng)}\)

\(\text{Ta có:}\text{AK = BA + AK}\)

\(\text{BC = BH + HC}\)

\(\text{Mà BA = BH ( gt )}\)

\(\text{AK = HC ( cmt)}\)

\(\Rightarrow\text{BK = BC}\)

\(\Rightarrow\Delta\text{BKC cân tại B}\)

\(\Rightarrow\widehat{BKC}=\dfrac{180^0-\widehat{KBC}}{2}\left(4\right)\)

\(\text{Từ (3) và (4)}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{BKC}\)

\(\text{Mà chúng đồng vị}\)

\(\Rightarrow\text{AH // BC}\)

\(\text{Ta có:}\Delta\text{BKC cân tại B}\)

\(\text{M là trung điểm BC }\)

\(\Rightarrow\text{BM là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của }\Delta BKC\)

\(\text{Có BK là đường phân giác của tam giác BKC (cmt)}\)

\(\Rightarrow\text{BK là đường phân giác của}\widehat{KBC}\)

\(\text{Mà BE cũng là đường phân giác của}\widehat{BAH}\)

\(\Rightarrow\text{BE trùng BK hay ba điểm B ; E ; K thẳng hàng}\)

a) Bạn ghi câu a) không rõ ràng nên mình thay thế bằng ý kiến của mình nhé !

CMR : \(\Delta ABE=\Delta HBE\)

Xét \(\Delta ABE,\Delta HBE\) có :

\(BA=BH\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\) (BE là tia phân giác của \(\widehat{B}\) )

\(BE:chung\)

=> \(\Delta ABE=\Delta HBE\left(c.g.c\right)\)

b) Gọi \(AH\cap BE=\left\{O\right\};O\in BE\)

Xét \(\Delta ABO,\Delta HBO\) có :

\(AB=BH\left(gt\right)\)

\(\widehat{ABO}=\widehat{HBO}\) (BE là tia phân giác của \(\widehat{B}\) ; \(O\in BE\))

AO : Chung

=> \(\Delta ABO=\Delta HBO\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{BOA}=\widehat{BOH}\) (2 góc tương ứng)

Mà : \(\widehat{BOA}+\widehat{BOH}=180^o\left(Kềbù\right)\)

=> \(\widehat{BOA}=\widehat{BOH}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

=> \(BO\perp AH\)

Hay : \(BE\perp AH\)

c) Ta chứng minh được : \(\Delta BKE=\Delta BCE\)

Suy ra : \(EK=EC\) (2 cạnh tương ứng)

d) Xét \(\Delta ABC\) có :

BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\) (1)

Xét \(\Delta KEM,\Delta CEM\) có :

\(EK=EC\left(cmt\right)\)

\(EM:chung\)

\(KM=CM\) (M là trung điểm của KC)

=> \(\Delta KEM=\Delta CEM\left(c.c.c\right)\)

=> \(\widehat{MEK}=\widehat{MEC}\) (2 góc tương ứng)

=> EM là tia phân giác của \(\widehat{KEC}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(BE\equiv ME\)

=> B, E, M thẳng hàng

=> đpcm.

a) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta HBE\) có:

AB = HB (gt)

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\) (tia pg)

BE chung

\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta HBE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BAE}=\widehat{BHE}\) (2 góc t/ư)

Do đó EH \(\perp BC\)

b) Gọi giao điểm của AH và BE là D

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBD\) có:

AB = HB (gt)

\(\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\) (tia pg)

BD chung

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta HBD\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AD=HD\) (2 cạnh t/ư)

Do đó D là tđ của AH (1)

và \(\widehat{ADB}=\widehat{HDB}\) (2 góc t/ư)

mà \(\widehat{ADB}+\widehat{HDB}=180^o\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{HDB}\) = 90^o

nên BD \(\perp\) AH (2)

Từ (1) và (2) suy ra BE là đg trung trực của AH.

c) Vì \(\Delta ABE=\Delta HBE\) (câu a)

\(\Rightarrow AE=HE\) (2 cạnh t/ư)

Xét \(\Delta AEK\) vuông tại A và \(\Delta HEC\) vuông tại H có:

AE = HE (c/m trên)

\(\widehat{AEK}=\widehat{HEC}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta AEK=\Delta HEC\left(cgv-gn\right)\)

\(\Rightarrow EK=EC\) (2 cạnh t/ư)

a: Xét ΔBAE và ΔBHE có

BA=BH

\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\)

BE chung

Do đó: ΔBAE=ΔBHE

b: Ta có: BA=BH

EA=EH

Do đó: BE là đường trung trực của AH

c: Xét ΔAEK vuông tại A và ΔHEC vuông tại H có 

EA=EH

\(\widehat{AEK}=\widehat{HEC}\)

Do đó: ΔAEK=ΔHEC
Suy ra: EK=EC